Pour étudier le comportement des lois physiques, nous devons alors nous munir de deux horloges qui donnent t et t‘ (le référentiel qui contient son horloge/instrument de mesure est appelé « référentiel propre »).

Mettons en place l’expérience imaginaire suivante:

Lorsque les observateurs O et O‘ sont superposés, nous posons t=0 et t‘=0 et nous émettons un flash lumineux dans la direction d’un point A repéré par et :

Figure: 49.1 – Configuration pour l’étude des effets relativistes

Il est évident que lorsque le flash arrivera en A, l’observateur O mesurera un temps t et O‘ un temps t‘.

L’observateur O conclut dès lors: 

  (49.9)

L’observateur O‘ lui, conclut:

  (49.10)

Étant donné que le déplacement de O‘ ne se fait que selon l’axe OX, nous avons pour les deux observateurs:

  (49.11)

De plus, si la trajectoire du rayon lumineux se confond dans Ox, nous avons:

  (49.12)

Ce qui nous donne dès lors et d’où:

  et      (49.13)

Ces deux relations sont donc égales (nulles) en tout x, x‘, t, t‘ entre les deux observateurs. Ce sont les premiers « invariants relativistes » (valeurs égales quel que soit le référentiel) que nous retrouvons sous une forme plus généralisée lorsque qu’appliquée à tout l’espace:

  (49.14)

Il convient maintenant de se rappeler, que dans le modèle classique (relativité Galiléenne), nous aurions écrit que la position du point A pour l’observateur O à partir des informations données par O‘ serait  et réciproquement (cf. chapitre de Mécanique Classique) tel que:

    (49.15)

Dans le modèle relativiste, nous devons par contre admettre que le temps t qui est en relation avec x n’est pas le même que t‘ qui est en relation avec x‘, principe de relativité oblige (sinon quoi il serait donc impossible d’expliquer l’invariance de la vitesse de la lumière) !

Nous sommes alors amenés à poser la relation précédente sous la forme suivante:

  (49.16)

où  serait une valeur numérique à déterminer.  Car pour expliquer la constance de la vitesse de la lumière c’est que l’espace doit s’ajuster en permanence en fonction de notre vitesse v. Ce qui est révolutionnaire comme nous l’avons déjà mentionné!Remarque: Un lecteur nous a demandé pourquoi nous ne pourrions pas écrire la dernière relation sous la forme simplifiée suivante (en utilisant la relation x = ct obtenue plus haut) si le point A se trouvait sur l’axe X:

  (49.17)

La seule raison tient au fait que plus tard nous allons introduire une écriture vectorielle (matricielle) de ce résultat faisant apparaître le concept de quadrivecteur et que c’est sous la première forme d’écriture (celle faisant explicitement référence au temps) que nous pouvons clairement faire apparaître le concept d’espace-temps.

De plus, si , nous devons aussi pouvoir exprimer t‘ comme fonction de t et de x sous une forme similaire: 

  (49.18)

Résumons la forme du problème:

  (49.19)

à déterminer . Et ensuite:

  (49.20)

à déterminer: a,b.

Nous cherchons alors à déterminer la relation permettant de connaître les valeurs des coefficients , a etb qui satisfont simultanément:

 et      (49.21)

Compte tenu de ce qui précède et en se rappelant que y‘ = y et z‘ = z, la dernière relation devient :

  (49.22)

Distribuons: 

  (49.23)

Pour satisfaire la relation: 

  (49.24)

Il faut que:

     (1)

     (2)

   (3)
  (49.25)

Il est facile de résoudre (2): 

  (49.26)

Nous introduisons alors ce résultat dans (1) et (3) et nous arrivons à:

   (1′)

     (2′)
  (49.27)

Si nous divisons (1′) par (2′), nous obtenons: 

  (49.28)

et en introduisant ce dernier résultat dans la relation _:

  _(49.29)

nous obtenons le résultat remarquable suivant:

  (49.30)

que nous notons souvent:

  (49.31)

et que nous appelons « facteur de Michelson-Morley » avec:

  (49.32)

En introduisant également: 

  (49.33)

dans:

  (49.34)

nous obtenons:

  (49.35)

Posons maintenant (afin d’être conforme aux notations d’usage):

  (49.36)

avec donc le paramètre sans dimensions et toujours inférieur ou égal à l’unité:

  (49.37)